V.- LÍNEA DEL TIEMPO DE LAS MATEMÁTICAS

Nota: los textos de matemáticas mas antiguos que se poseen proceden de Mesopotamia, algunos textos cuneiformes tienen mas de 5000 años de edad.

3000 A.C - 2500 A.C

"Abaco Chino"

-Se inventa en china el ábaco, primer instrumento mecánico para calcular

-Se inventan las tablas de multiplicar y se desarrolla el calculo de Arias

--Papiro de Rhind

1600 A.C aprox.

- El papiro de Rhind, es el principal texto matemático egipcio, fue escrito en un escriba bajo el reinado del Rey Hicso Ekenenve Apopi y contiene lo esencial del poder matemático egipcio. entre estos proporcionan unas reglas para calculo de adiciones y sustraccion de fracciones, ecuaciones simples de primer grado, diversos problemas de aritmética, mediciones de superficie y volúmenes.

Entre 600-300 A.C

La matemática griega es conocida gracias a un prólogo histórico escrito en el siglo V A.C por el filósofo Proclo. Este texto nombra a los geómetras griegos de aquel periodo pero sin precisar la naturales exacta de sus descubrimientos.

Del 550-450 A.C

Se establece la era pitagórica. Pitagóras de Samos personaje semi legendario creador de un gran movimiento moral, metafísico. El saber geométrico de los pitagóricos estaba en la geometría elemental donde destaca el famoso Teorema de Pitágoras el cual fue establecido por su escuela y donde la tradición de los pitagóricos llego a atribuirse a su maestro.

Hacia 460 A.C

El mercader Hipócrates de Quíos se convirtió en el primero en redactar unos elementos, es decir un tratado sintomático de matemáticas.

Alrededor de 406-315 A.C

El astrónomo Eudoxo establece una teoría de la semejanza.

--Personaje importante de las matematicas

que pudo medir la longitud de la circunfe-

rencia de la Tierra.

276-194 A.C

El matemático griego Erastóstones ideó un método con el cual pudo medir la longitud de la circunferencia de la Tierra.

300-600 D.C

Los indúes conocen el sistema de numeración babilónica por posición y lo adaptan a la numeración decimal creando así el sistema decimal de posición, que es nuestro sistema actual.

1100

Omar Khayyam desarrolla un método para dibujar un segmento cuya longitud fuera una raíz real positiva de un polinomio cúbico dado.

Gerolamo Cardano

1545

Gerolamo Cardano publicó el método general para resolver ecuaciones de tercer grado.

1550

Ferrari da a conocer el método general de solución de una ecuación de cuarto grado.

1591

Francois Viéte escribió " In arten anlyticen isagogen" en el cual se aplicaba por primera vez el álgebra a la geometría.

1614

Napier inventa los logarítmos.

1617

Jonh Napier inventa u juego de tablas de multiplicación llamada "los huesos de Napier. Posterirmente publicó la primera tabla de logarítmos.

1619

Descartes crea la geometría analítica

1642

El matemático Blaise Pascal construye la primera máquina de calcular conocida como la "pascualina" la cual podía efectuar sumas y restas hasta seis cifras.

1684

Se crea casi simultaneamente el cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.

1743

Langlois inventa el pantógrafo.
1746
Enuncia y demuestra parcialmente que cualquier polinomio grado n tiene n raices reales o completas.
1761
johan lambert prueva que el numero P es irracional.

OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo de origen del otro vector.

Regla del paralelogramoSe trazan como representantes dos vectores con el origen en común se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Ejemplo;

Producto de un número por un vector

El producto del número k por el vector u es otro vector que:

• Tiene la misma dirección que u; 
• Tiene el mismo sentido que u si k>0, y sentido contrario si k<0; 
• Tiene por módulo el producto del módulo de u por el valor absoluto de k: |k|.|u|; 

Dado un vector u = (x, y) y un número real k, el vector producto k.u tiene por componentes el producto de las componentes de u por k.

k.u = k. (x, y) = (k.x, k.y)

 

TIPOS DE VECTORES

Nombre	Significado	Ejemplo
Vectores equipolentes	Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual modulo, dirección y sentido.
Vectores libres	Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí, se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo modulo, dirección y sentido.
Vectores fijos	Es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo modulo, dirección, sentido y origen.
Vectores ligados	Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores ligados tienen el mismo modulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.
Vectores opuestos	Estos tienen el mismo modulo, dirección y sentido distinto.
Vectores unitarios	Los vectores unitarios tienen de modulo la unidad para obtener un vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector dado, se divide este por su modulo.
Vectores concurrentes	Tienen el mismo origen
Vector de posición	El vector de posición OP que une al origen de coordenadas con un punto P se llama vector de posición del punto P.
Vectores linealmente dependiente	Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Vectores linealmente independientes	Varios vectores libres son linealmente independientes sin ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de otros.
Vectores ortogonales	Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.
Vectores ortonormales	Dos vectores son ortonormales si su producto escalar es cero y los dos vectores son unitarios

lV.-VECTORES: "TEOREMA DE PITAGORAS"

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos del vector
Dirección: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido:El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.

Modulo de un vector
El modulo de un vector  es la longitud del segmento AB, se representa por  (valor absoluto).

Nota: "El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero"; ejemplo

Coordenadas de un vector

El modulo de un vector también se puede representar mediante coordenadas utilizando el sitema algebraico (x, y) = A (x1, y1) y B (x2, y2); ejemplo. Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

A(x1, y1) B(x2, y2) Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

A(2, 2) B (5, 7)

 =(y2-x1, y2-y1)

=(5-2, 7-2)

=(3,5)

lll.- LUGARES GEOMÉTRICOS

Se refiere a la sucesión de puntos que forman una figura en un punto, a la dimensión, posición, sentido o dirección de cualquier plano geométrico.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

- Dada una figura geométrica o la condición común que deben cumplir los puntos de esta, hallar su ecuación.

- Dada una ecuación construir su grafica o lugar geométrico

Un lugar geométrico se establece por un conjunto de  puntos que tienen una propiedad o regularidad común. Dicho con otras palabras, una grafica o lugar geométrico esta definido por medio de la condición geométrica que cumplen todos sus puntos.

Ejemplos notables:

• Mediatriz de un segmento de recta
• Elipse
• Circunferencia
• Parábola

Mediatriz de un segmento de recta

Es un conjunto de todos los puntos en el plano que equilistan de sus puntos extremos.

La recta “R” que resulta de unir los puntos es la mediatriz del segmento de  recta AB y tiene las siguientes características:

• Pasa por el punto medio de AB
• Un segmento de recta y su mediatriz son perpendiculares

 http://www.youtube.com/watch?v=CQgZU7lBTsU&feature=fvst

ll.- PAREJAS ORDENADAS

En el plano cartesiano se divide en dos partes, ordenadas y coordenadas. Las ordenadas pertenecen a los puntos del eje “x” y las coordenadas a los puntos del eje “y”.

Es necesario tener en cuenta los siguientes conceptos:
-Pendiente de una recta
Es el grado de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.Si una recta pasa por dos puntos distintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:
           y₂ – y₁
m= --------------
           x₂ – x₁

 Esto es;  

             Cambio vertical (elevación)
m= -------------------------------------------------
         Cambio horizontal (desplazamiento)

-Teorema de Pitágoras

Que dice que "El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados".

-h²= a² + b²

l.- GRANDES PERSONAJES MATEMÁTICOS IMPORTANTES

Galileo Galilei
Galileo nació Pisa en 1564, hijo de un músico. Aunque había ido a la universidad para estudiar medicina, decidió inclinarse hacia las matemáticas. A sus veinticinco años fue nombrado profesor de matemáticas en la universidad de Pisa, donde comenzó a investigar sobre mecánica y sobre el movimiento de los cuerpos.
Sus descubrimientos astronómicos fueron importantes, siendo él el primero en hacer del telescopio, recién inventado, un instrumento útil para la observación astronómica.

Pero su contribución más interesante fue la de establecer el lazo a partir de entonces, nunca roto, entre física, en particular la mecánica, y las matemáticas, que hasta entonces se habían considerado como ciencias separadas.
En la madrugada del 8 al 9 de enero de 1642, Galileo falleció en Arcetri.
René descartes

(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650). 

El siguiente paso importante en la geometría analítica lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra.

Descartes fue el pensador más capaz de su época, pero en el fondo no era realmente un matemático. Sin embargo fue considerado uno de los personajes más importantes de la geografía analítica gracias a su desempeño y dedicación para el desarrollo intelectual algebraico.

En 1635 publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón. Tuvo la inspiración para sus estudios de Matemáticas en tres sueños en la noche del 10 de Noviembre de 1619. Introdujo el sistema de referencia que actualmente conocemos como coordenadas cartesianas. Este nombre deriva de la forma latina de su apellido: Cartesius.